Question

平面直角坐标系中已知过点的椭圆的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，点关于坐标原点的对称点为，直线分别交椭圆的右准线于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点的坐标为，试求直线的方程；

（3）记两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件得，所以，又点在椭圆上，所以由椭圆定义得，则， 所以椭圆的标准方程为；（2）由已知得点的坐标可以确定，只需确定斜率即可．因为点为直线与椭圆的交点，所以联立直线与椭圆方程可得点的坐标，从而得直线的斜率，即可得直线方程；（3）首先考虑直线斜率不存在的情况，此时．只需证明当直线斜率存在时也成立．设，则，要确定与，所以需要找到直线的方程和直线的方程．设直线的斜率为，把直线的斜率和直线的斜率分别用表示，从而确定直线的方程和直线的方程，当时分别求出与即可．

试题解析：（1）由题意，得，即

因为.

所以椭圆的标准方程为.

（2）因为.

所以直线的斜率为.

所以直线的方程为.

解方程组得点的坐标为，

所以直线的方程为

（3）当直线的斜率不存在时，易得.

当直线的斜率存在时，设，则.

所以.

两式相减，得.

所以

所以

所以直线的方程为.

所以.

直线的方程为

所以.

因为，所以，

所以

所以为定值.

考点：1.椭圆的方程；2.直线方程；3.椭圆的综合运用．

【一题多解】本题主要考查的是椭圆的定义和点关于点的对称点以及椭圆的综合运用，属于中档题．本题的第（1）问也可以用下面方法：解方程组得，所以椭圆方程为；另外本题的第（3）问，学生容易忽略斜率不存在的情况，从而产生不必要的丢分．