Question

（2014秋•吉安期末）已知函数f（x）=e^x（x³﹣x²﹣3x+a）．

（1）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣2=0，求实数a的值；

（2）若函数f（x）有三个极值点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）a=2（2）

【解析】（Ⅰ）首先利用函数在某点导数，即求出切线的斜率，进一步求出参数的值．

（Ⅱ）根据函数有几个极值点，即函数的导数有几个实数根，进一步建立不等式组，解不等式组求出参数的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）已知函数f（x）=ex（x3﹣x2﹣3x+a）．

则：f′（x）=ex（）+ex（3x2﹣3x﹣3）

=ex（x3+﹣6x+a﹣3）

f′（0）=a﹣3

由于直线方程为x+y﹣2=0的斜率为﹣1，

所以：a﹣3=﹣1

解得：a=2．

（Ⅱ）函数f（x）有三个极值点，即f′（x）=ex（x3+﹣6x+a﹣3）有三个不同的实数根．

设k（x）=f′（x）=ex（x3+﹣6x+a﹣3）

由于ex＞0，

所以：只需满足g（x）=（x3+﹣6x+a﹣3）有三个不同的实数根即可．

g′（x）=3x2﹣3x﹣6=3（x﹣2）（x+1）

令g′（x）=0，解得：x=2或﹣1．

①当x＜﹣1时，g′（x）＞0，所以g（x）为增函数．

②当﹣1＜x＜2时，g′（x）＜0，所以函数g（x）为减函数．

③当x＞2时，g′（x）＞0，所以函数g（x）为增函数．

所以当x=﹣1时，函数g（x）取极大值，

当x=2时，函数g（x）取极小值．

即，

解不等式组得：，

即：实数a的取值范围为：．

【点评】本题考查的知识要点：利用函数的导数求切线的斜率，及函数的极值和导数的关系．即函数有几个极值点，即函数的导数有几个实数根．及不等式的解法．