Question

已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值．

Answer

(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：(1)由离心率及椭圆中的关系可得，再将点代入椭圆方程求出，即可求出椭圆的标准方程；(2)先讨论直线斜率不存在时，直线的斜率为0，

易得，当直线斜率存在时，设直线方程为：与抛物线方程联立由弦长公式得，设直线的方程为：与椭圆方程联立，由弦长公式可得，从而可求出四边形的面积，换元利用函数的单调性求得，所以其面积的最小值为.

试题解析：（1）由题意得：，得，

因为椭圆过点，则，解得，所以，

所以椭圆方程为：

（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，

易得

当直线斜率存在时，设直线方程为：

与联立得，

令，则，

∵，∴直线的方程为：，

将直线与椭圆联立得，，

令，

由弦长公式，

∴四边形的面积，

令，上式，

所以．最小值为

考点：1.椭圆的标准方程及几何意义；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.

【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误.