Question

如图，直三棱柱中，分别是的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线和所成角的大小；

（3）当时，求三棱锥的体积．

Answer

(1)见解析；(2) ；(3) .

【解析】

试题分析：(1) 连接与相交于点，连接 ,利用三角形中位线定理可证，由线面平行的判定即可得到平面；(2) 由（1）得或其补角为异面直线和所在角，利用正、余弦定理解三角形即可求得异面直线和所成角的大小为；(3)由已知可得，由面面垂直的性质可得平面，即为三棱锥的高，又，所棱锥的体积公式求之即可.

试题解析： （1）证明：连接与相交于点，连接．

由矩形可得点是的中点，又是的中点，

∴ ，∵平面平面，∴平面

（2）由（1）得或其补角为异面直线和所在角，设，则

，

，．

在中，由余弦定理得，，且，

∴，∴异面直线和所成角的大小为

（3）∵，为的中点，∴，

∵平面平面，∴平面，

又，

，

∴三棱锥的体积

考点：1.线面平行的判定与性质；2.面面垂直的判定与性质；3.异面直线所成的角.