Question

已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）用表示出；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出即可；（2）利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围．

试题解析：（1），则有，解得，

（2）由（1）知，，

令，

则，

当时，，

若，则是减函数，所以，

即，故在上不恒成立．

②当时，．

若，则是增函数，所以，

即，故当时，．

综上所述，所求的取值范围为．

考点：函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程．

【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题等知识综合应用能力，思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围．