Question

已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在一个定点满足条件．

【解析】

试题分析：（1）由题设可知，利用，即可求得椭圆的标准方程；（2）先猜想的坐标，再进行验证，若直线的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．

试题解析：（1）则由题设可求得，

又，则，所以椭圆的方程是分

（2）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得

设点的坐标分别为，则，

因为及，所以

当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点

所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点

当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件

解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，

若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，

由，解得，由此可知所求点如果 存在，只能是

事实上点就是所求的点，证明如下：

当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；

当直线的斜率存在，设直线方程为，

代入椭圆方程并整理得

设点的坐标为，则，因为

，所以有

，

所以，即以为直径的圆恒定过点

综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件

考点：椭圆的标准方程及其简单几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题；

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单几何性质、直线与圆锥曲线的综合应用、向量的坐标运算等知识的应用，着重考查了转化与化归的思想和分类讨论思想应用，属于中档试题，本题的解答中，当直线的斜率存在，代入椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．