Question

已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（﹣1，），右顶点为A，经过点F的动直线l：x=my+1与椭圆C交于B、C两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）记△AOB和△AOC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁﹣S₂|的最大值．

Answer

（1）椭圆的方程为+=1；（2）|S1﹣S2|的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得c=1，运用椭圆的定义，可得a=2，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆的方程；

（2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，讨论m=0和m≠0时，|S1﹣S2|的表达式，由基本不等式可得最大值．

【解析】
（1）由题意可得c=1，

由椭圆的定义可得2a=+=4，

即为a=2，b==，

则椭圆的方程为+=1；

（2）直线l方程为：x=my+1，

联立C得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

设B（x1，y1），C（x2，y2），（y1＞0，y2＜0），

则y1+y2=﹣，y1y2=，

当m=0时，显然|S1﹣S2|=0；

当m≠0时，|S1﹣S2|=|•2•y1﹣•2•（﹣y2）|=|y1+y2|=

=≤=，

当且仅当3|m|=，即m=±时取等号，

综合得m=±时，|S1﹣S2|的最大值为．

考点：椭圆的简单性质．