Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=

120°，∠PBC=90°．

（Ⅰ）求证：直线DA⊥平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣PAC的体积．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（I）根据矩形的性质得出AD⊥AB，AD∥BC，由BC⊥PB得出AD⊥BP，故AD⊥平面PAB；

（II）将△PAB当作棱锥的底面，则棱锥的高为BC，代入体积公式计算．

（I）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．

∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB，

∴AD⊥PB，又AB⊂平面APB，BP⊂平面ABP，AB∩BP=B，

∴DA⊥平面PAB．

（II）【解析】
∵AD∥BC，AD⊥平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，BC=AD=1．

∵S△PAB==．

∴三棱锥B﹣PAC的体积V===．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．