Question

已知函数是自然对数的底数，．

（1）当时，讨论函数的单调性并求的最小值；

（2）求证:在(1)的条件下，；

（3）是否存在实数,使的最小值是，如果存在,求出的值；若不存在,请说明理由.

Answer

（1）函数在上是减函数，在上是增函数，最小值为；（2）证明见解析；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1），可通过导函数来求函数的单调性与单调区间以及最小值；（2）第一问已经求得的最小值，所以只需要求得的最大值即可证得，同（1）可以利用导函数来求得的单调区间，从而求得其最大值；（3）假设存在，先求得导函数，然后对的不同取值进行分类讨论，分别求出的最小值，并且令最小值等于，从而得到的值.

试题解析：(1)则

函数在上是减函数，在上是增函数

的最小值为

(2)证明：上的最小值为1，

(3)假设存在实数a，使上有最小值3，

①若，上的增函数

（舍去）

②若

由①、②知，存在实数有最小值3

考点：导函数的运用，函数的最值与单调性，存在性的证明.

【方法点睛】在比较两个函数的大小时，可分别求得两个函数的最大值与最小值，通过两个最值进行比较，也可将两函数求差构造出一个新的函数，通过新函数的最小值为正数或者最大值为负数来比较函数的大小，在解答第二问，求函数的最大值时，一定要注意函数的定义域，该定义域为，而非；对于存在性问题的证明，可先假设存在，因为含有参数，所以在求的时候一定要分类讨论，最后所求的一定要在对应的范围内.