Question

已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当时，求的面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)由可知，又，且中点，所以有，可求，再由点在椭圆上，也可列一方程，这样便求得得到椭圆的标准方程；(2)直线过点，可假设直线方程，将直线与圆的方程联立，可求得纵坐标的关系式，再用纵坐标表示出，便可通过的范围求得的范围，再将直线方程与椭圆方程联立，可求得纵坐标所满足的关系式（即和与积的关系式），并代入的面积公式中，这样可将三角形的面积转化为关于的函数，求此函数的值域便可求得面积的范围.

试题解析：(1)，则为线段的中点

的中线，又

PF1F1F2 ，于是有，且，解得=2 ，

椭圆方程为

(2)由(1)知F1（-1，0），F2（1，0），由题意，设直线的的方程为x=ty+1，

A(x1，y1），B(，)，由

得，则，

∵， ，解得

由 消x得，设

则

设，则，其中

∵S关于m在上为减函数

，即的面积的取值范围为

考点：中位线定理，椭圆的标准方程，焦点，函数的最值，数形转化.

【思路点睛】求椭圆的标准方程，关键是求得三个参数中的任意两个，便可求得标准方程；对于第二问求面积的范围，首先要假设直线方程，有直线和圆方程得联立可求得直线的斜率与的关系，从而确定斜率的范围，这样便可将问题转化为已知斜率范围的直线与椭圆的交点与其中一个焦点所围成三角形的面积的问题，将两方程联立，并将三角形分解为两个同底（焦距）不等高的三角形，进一步讲面积转化为斜率的函数，然后求函数的最值.