Question

已知二次函数的图象经过坐标原点,其导数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题分析：(1)由导函数可知原函数为一元二次函数，又原函数过原点，假设原函数，求导函数，可求得，即，由点均在函数的图象上可知，显然是等差数列前项和，可求得；(2)有第一问，可知，可求得，可将看作关于的函数，可通过求函数的最大值来求的值.

试题解析：(1)由题意令二次函数为

则，又∴

∵点均在函数的图像上，∴

当时，

当时，,所以满足

数列的通项公式为

(2)由(1)得

故

把代数式看作的函数,因此，使得

成立的必须满足 的最大值

,即，即

故：满足要求的最小整数为12.

考点：导数的应用，数列的通项及其前项和.