Question

已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，点为椭圆上一个动点，且的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点的坐标为，点为椭圆上异于点的不同两点，且直线平分，求直线的斜率.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)由短轴长可得，由的最大值为可得，又由的关系可得的值，进而得到椭圆的方程；（2）可设直线的斜率，联立直线与椭圆方程可得点横坐标，又由直线平分可得直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数可得的横坐标，再由直线的斜率公式可得斜率的值.

试题解析：（1）,，

由 得，所以椭圆的方程为.

（2）设点，的坐标分别为，，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由得，

，

，

因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数.

同理，

.

考点：椭圆的方程、直线与椭圆的关系.

【易错点晴】解答题中圆锥曲线问题一直是试卷的压轴题，第一问一般情况下会让求圆锥曲线的标准方程，难度不会大．第二问中如何将角平分线问题转化成直线的斜率问题是本题的难点，由三角形底角相等转化成直线倾斜角相补，这样可得到两点的横坐标的关系，为求直线斜率打下基础．本题属于难题.