Question

如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，为边的中点，点在线段上.

（1）证明：平面平面；

（2）若，平面，求四棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的判定定理可知要证平面平面需证直线与平面垂直，经过观察可知要证平面，进而可转化为证明两条直线与；（2）四棱锥的体积分两部分：一是点到平面的距离：可转化成点到平面的距离，由已知条件可得平面，容易得出的大小；一是的面积：容易知道的面积为的，由此可得棱锥的体积.

试题解析：（1）证明：连接，因为底面是菱形，，

所以是正三角形，

因为为边的中点，，

所以，，，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

（2）连接，交于点，连接，

因为∥平面，所以∥，

易知点为的重心，所以，

故，

因为，， 所以，，因为，

所以，即，且，所以平面，

由知，故点到平面的距离为，

因为，

所以四棱锥的体积为．

考点：面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理.