Question

已知函数的图象如图，其在点处的切线为，与轴及直线分别交于点、，点，设△的面积．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）若△的面积为时的点恰好有两个，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为，所以，故的方程为，求得，，所以△的面积；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，，结合的大致图象可知，当，有两个交点，所以点恰好有两个．

试题解析：（Ⅰ）由条件，，则切线的斜率为，的方程为，故点，．

所以．

(Ⅱ)由（Ⅰ）得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

又，，，要使△的面积为时的点恰好有两个，则必有．

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值；3、切线方程；4、导数的几何意义．