Question

在如图的多面体中，四边形是边长为的菱形，且，，，平面．

（Ⅰ）在上是否存在点，使得平面，请证明你的结论；

（Ⅱ）求该多面体的体积．

Answer

（Ⅰ）当点位于中点时，有平面，证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当点位于中点时，有平面，取中点，连接、、,由中位线知且，而且，所以，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面；（Ⅱ）利用分割的思想知：几何体是四棱锥和构成，故体积是两个棱锥体积之和，即．

试题解析：（Ⅰ）当点位于中点时，有平面．

证明：取中点，连接、、．

在△中，为中位线，故且，而且，所以，即四边形为平行四边形，则．

又平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）连接，因为⊥平面，而底面是菱形，所以⊥平面，那么该多面体可分割成两个以平面为底面的等体积的两个四棱锥．

即．

考点：1、线面平行；2、空间几何体的体积．

【方法点晴】本题主要考查的是线面平行和空间几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．本题就是利用中位线构造平行四边形，再证明线线平行，得线面平行．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了割补法．