Question

已知点在椭圆：（）上，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若斜率为1的直线与椭圆交于、两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求△的面积．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）点在椭圆上代入得：，又离心率，联立得：，，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线的方程为，，，中点为，由直线与圆锥曲线的位置关系得：，，即，因为是等腰三角形△的底边，故，即的斜率，解得,此时，，则，点到直线：的距离为,所以△的面积为．

试题解析：（Ⅰ）由已知得即

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，，，中点为．

由整理得，

则，，即．

因为是等腰三角形△的底边，故，即的斜率，解得．

此时，，则，点到直线：的距离为．

所以△的面积为．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、弦长公式；4、点到直线的距离．

【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．解题时综合已知点坐标，离心率条件，解方程组得出椭圆的标准方程；在处理直线与圆锥曲线位置关系时，要熟练得出：，，利用，求得，从而利用弦长公式及点到直线距离求三角形的面积．