Question

已知函数（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求在区间上的最大值和最小值（）；

（3）求证：．

Answer

(1) 若，函数的单调递减区间为；若，函数的单调递增区间为，单调递减区间为;(2);(3)见解析.

【解析】

试题分析：(1)求导得，分与讨论导数的符号即可写出函数的单调区间；

(2)当时，由（1）可写出函数单调性，由单调性可求出函数的最大值与最小值；(3)由（2）可知，所以有，移项可得，在此不等式两边同加，由对数的运算性质即可得到所要证明的不等式.

试题解析： （1）函数的定义域为，

，

，

若，又，，

故，函数在区间上单调递减；

若，当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减．

综上，若，函数的单调递减区间为；若，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）时，，

由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

函数在区间上的最大值为；

而；

，

，

所以，故函数在区间上的最小值为．

（3）由（2）可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

故函数在区间上的最大值为，即．

故有恒成立，

所以，

故，

即

考点：1.导数与函数的单调性； 2.导数与函数的最值； 3.函数与不等式.