Question

已知为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与半径相交于点，记点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）当点在第一象限，且时，求点的坐标．

Answer

(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：(1)由线段的垂直平分线与半径相交于点可得，所以有，由此可知的轨迹是椭圆，由椭圆定义写出方程即可； (2) 由点在第一象限，，及三角函数定义可得，从而求出直线的方程与椭圆方程联立解方程组即可求出点的坐标.

试题解析： （1）圆的圆心为，半径等于．

由已知，

于是，

故曲线是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，且，，，

故曲线的方程为．

（2）由点在第一象限，，

，得．

于是直线方程为．

代入椭圆方程，消去，

可得，

所以，．

由于点在线段上，所以点坐标为．

考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质、直线与椭圆的位置关系，属中档题；求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．