Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F 与F，圆：．

（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；

（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，证明：点F到直线QT的距离FH为定值．

Answer

（1）或；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的性质求出，设，由，得，再由，能求出点的坐标；（2）设，圆的方程为，圆的方程为，由此求出直线的方程为，由此能证明点到直线的距离的定值．

试题解析：（1）F（，0），F（，0），设M（m，n），由，

得．即．① 又．②

由①，②，得，．∴M（，），或M（，）．

（2）设，则圆的方程为．

即．③ 又圆F的方程为．④

由③，④得直线QT的方程为．

所以．

因为在椭圆上，所以，即，

所以．

考点：直线与圆锥曲线的综合应用．

【方法点晴】本题主要考查了点的坐标的求解、点到直线的距离为定值的证明及直线与圆锥曲线的综合应用，解答是要仔细审题、认真作答，同时注意函数与方程思想的合理运用，属于有一定难度的试题，本题的解答中，由圆的方程，圆的方程，求出直线的方程为，由点到直线的距离可化简的定值，得以证明．