Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAB；

（2）若二面角P－AD－B为60°．

①证明：平面PBC⊥平面ABCD；

②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．

【解析】

试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．

试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．

因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．

又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，

所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．

（2）①证明：如图，连接PE，BE．

因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，

所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．

在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．

在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．

在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，

从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．

又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．

又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．

②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．

由PB＝及已知，得∠ABP为直角．

而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．

又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．

所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．

考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．

【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．