Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂＋a₃＋a₄＝28,且a₃＋2是a₂和a₄的等差中项．

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；

（2）令b_n＝a_n,S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n , 求使S_n＋n·2^n＋1＞50成立的最小的正整数n．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据题设条件，建立方程组即可求解数列的首项和公比，从而求解数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，即可求解最小的正整数的值．

试题解析：（1）设{an}的公比为q，由已知，得∴，

即，解得或 (舍去)，∴an＝a1qn－1＝2n．

（2）

设Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②

①－②得－Tn＝(2＋22＋…＋2n)－n×2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2，

∴Sn＝－Tn＝－(n－1)×2n＋1－2．

由Sn＋n·2n＋1＞50，得－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1＞50，则2n＞26，

故满足不等式的最小的正整数n＝5．

考点：等比数列的通项公式及数列求和．