Question

如图，是⊙的直径，与⊙相切于是⊙的弦，是弧的中点，的延长线与交于.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求.

Answer

（Ⅰ）见解析；(Ⅱ)．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用圆的直径所对的圆周角为直角和圆周角得到角角相等，进而证明三角形相似，则利用对应边成比例进行证明；(Ⅱ)利用全等三角形的判定和性质得到线段相等，再利用勾股定理和切割线定理进行求解．

试题解析：（Ⅰ）∵是⊙的直径，与⊙相切于，是弧的中点，

∴，∴∽.

∴，∴.

（Ⅱ）【解析】
设的延长线与的延长线交于，∵是弧的中点，∴，

∵是⊙的直径，∴，∴.∴,

在中，.∴.

∵,∴,∴,

∴,∴.

由割线定理得，即，解得.

∴.

考点：1.全等三角形；2.切割线定理．