Question

已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ)是否存在，使？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ)；(Ⅱ)或或．

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设出椭圆的标准方程，利用离心率、四边形的周长进行求解；(Ⅱ)利用平面向量的线性运算得到的关系，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用椭圆的对称性、平面向量的坐标运算和判别式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）根据已知设椭圆的方程为，焦距为，

由已知得，∴.

∵以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，

∴.

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）根据已知得，由，得.

∴.∵,∴，

若，由椭圆的对称性得，即.

∴能使成立.

若，则，解得.

设，由得，

由已知得，即.

且.…10分

由得，即.∴,

∴，即.

当时，不成立.∴,

∵,∴,即.

∴,解得或.

综上述，当或或时，.

考点：1.椭圆的标准方程；2.平面向量的线性运算；3.直线与椭圆的位置关系．