Question

如图，在三棱锥中，为的中点.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)设平面平面，求二面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用等腰三角形的三线合一证得线线垂直，再利用三角形的中位线得到线线平行和垂直，再利用线面垂直的判定和性质进行证明；(Ⅱ)先证得三线两两垂直，再建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求其正弦值．

试题解析：（Ⅰ）设的中点为，连接，∵，∴，

又∵为的中点，∴，∵，∴.

∵，∴平面，又∵平面，

∴

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：，，∵平面⊥平面，

平面∩平面，平面，∴⊥平面.∵平面,

∴,∴两两互相垂直.

∵,.

由为的中点，，得，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

∴.

设平面的一个法向量为，则.

∴,取，解得，

∴是平面的一个法向量.

同理可求平面的一个法向量.

设二面角的大小为，则

.∵.∴，

∴二面角的正弦值为.

考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用．