Question

已知.

（Ⅰ）求证：当 时，取得极小值；

（Ⅱ）是否存在满足的实数，当时，的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ) 见解析；（Ⅱ）不存在满足条件的实数，．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，对函数进行求导，再构造函数，求导，通过导函数研究导函数的零点，进而判定函数的极值；（Ⅱ）将问题转化为有两个不等实根，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性进行判定．

试题解析：（Ⅰ）证明：由已知得的定义域为.

当时，.

设，则，

当时，是单调递增函数，也是单调递增函数，

当时，单调递增.

∴当时，，当时，.

∴当时，，单调递减，当时，，单调递增.

∴当时，取得极小值3.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上是单调递增函数，若存在满足的实数，，

当时，的值域为，则，即在上

有两个不等的实根，.

∴在上有两个不等的实根，，设，则.

当时，，，所以，

∴在上是单调递增函数，即当时，.

∴在上没有实数根.

所以，不存在满足条件的实数，.

考点：1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性和函数的零点．