Question

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，试判断方程有几个实数根，并说明理由；

（3）若（是自然对数的底）时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）个；（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，求出切点为和导函数，即为曲线在点处的切线斜率，即得其方程；（2）当时，构造新函数，利用导数可判断其为单调递增的，可求得，从而得到方程有且只有一个实数根；（3）化分式不等式为分式不等式，分两种情况讨论来分离参数，通过求新函数的最值得到实数的取值范围．

试题解析：（1）当时，，，切点坐标为，

∴切线方程为．

（2）当时，令，则，

在上是增函数．又，

∴在上有且只有一个零点，

∴方程有且仅有一个实数根．（或说明也可以）．

（3）由题意知，，恒成立，即恒成立，

∵，∴，则恒成立．

令，则．，

∵，∴，∴，即在上是减函数．

∴当时，．∴的取值范围是．

考点：导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性和极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，属于难题.在导数的几何意义中要把握好函数图象上某点处的导数就是切线的斜率；在导数的应用中，研究函数的单调性是核心，有了单调性既可以研究极值、最值又可以研究函数的零点个数问题，处理这类问题时，要把握好构造新函数的思想及分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法.