Question

已知圆，圆．

（1）过的直线截圆所得的弦长为，求该直线的斜率；

（2）动圆同时平分圆与圆的周长．

①求动圆圆心的轨迹方程；

②问动圆是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．

Answer

（1）或；（2）①，②.

【解析】

试题分析：（1）设出直线的方程，根据勾股定理和弦长得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式即得直线斜率的值；（2）①由于圆与圆半径相等，要使得圆都平分它们，必有，知在的中垂线上，求的垂直平分线方程即得点的轨迹；②根据的轨迹方程设出的坐标，由勾股定理得，从而得到圆的方程，分离参数，解方程组即得圆经过的定点.

试题解析：（1）设直线为，由弦长可得圆心到直线的距离为，

点到直线的距离为，化简得：，

解得，或

（2）①作出图形可证，知在的中垂线上，求得，

②设，作出图形知，

圆的方程：

，

得两个定点为，

考点：直线方程、圆的方程及直线与圆的位置关系的应用.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，解决这类问题的关键是通过勾股定理建立半径、半弦与弦心距三者之间的关系，本题中第（1）问、第（2）问中的②都用到了这一关系；同时解答本题的难点是对“动圆同时平分圆与圆的周长”这一条件的处理，解答时应结合图形分析出其本质还是点到两点的距离相等，进而得到点的轨迹.