Question

已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．

（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）试比较e^a﹣2与a^e﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．

Answer

（Ⅰ）；（ II）（i）；（ii） 当时，，当时，，当时，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率，再由点斜式求得切线方程；（ II）只需求出函数在区间上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值；比较与的大小等价于比较与的大小，比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的单调性求解.

试题解析：（Ⅰ） 因为时，，，所以切点为，，时，曲线在点处的切线方程为；（ II）（ i）由，，①当时，，，

在上单调递增，，不合题意；②当即时，在上恒成立，在上单调递减，有，

满足题意，③若即时，由，可得，由，可得,

在上单调递增，在上单调递减，，不合题意，综上所述，实数的取值范围是，（ ii）时，“比较与的大小”等价于“比较与

的大小”，设，则，

在上单调递增，因为，当时，，即，

，当时，即，综上所述，当时，，当时，，当时，.

考点：1、利用导数求切线方程；2、利用导数研究函数的单调性进而求最值、比较大小.

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线方程以及利用导数研究函数的单调性进而求最值、比较大小，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 本题（1）就是根据这种思路求出切线方程的.