Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点.

（1）求面积的最大值；

（2）△的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1） ；（2），.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率为以及椭圆过列出关于的等式，再结合，解出的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）设，不妨设，设的内切圆的半径为，则，当最大时，也最大，的内切圆的面积也最大，由此能求出的内切圆的面积最大值是，此时，直线的方程是.

试题解析：（Ⅰ）由及解得得椭圆方程为.

（Ⅱ）（1）设，不妨,

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得,则，

可化为，设（），利用函数单调性可知时三角形面积有最大值，即，面积最大值为.

（2）设的内切圆的半径，则的周长，,因此最大，就最大，， ，时， 所求内切圆面积的最大值为．故直线：内切圆面积的最大值为.

考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、三角形面积公式及利用函数的单调性求最值.

【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求最值，本题（Ⅱ）就是这种思路，利用函数单调性法求三角形面积最值的.