Question

设函数f（x）=lnx+a（x²﹣3x+2），其中a∈R．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若a＞0，对∀x＞1，f（x）≥0成立，求实数a的最大值．

Answer

（1）见解析；（2）a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．

【解析】

试题分析：解法一：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数，通过讨论a的范围从而求出函数的单调性；

（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出a的最大值即可．

解法二：（1）出函数的定义域，求出函数的导数，通过讨论a的范围从而求出函数的单调性；

（2）先求出函数f（x）的导数，构造函数g（x）=2ax2﹣3ax+1，求出g（x）的对称轴以及方程g（x）=0的根，结合函数的单调性求出a的范围即可．

【解析】
解法一：

（1）f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）的定义域为（0，+∞）…（1分），

=，

令g（x）=2ax2﹣3ax+1…（2分）

①当a=0时，g（x）=1，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（3分）

②当a＞0时，△=9a2﹣8a=a（9a﹣8）

当时，△≤0，g（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（4分）

当时，△＞0，g（x）=2ax2﹣3ax+1=0的两根

为，，即0＜x1＜x2

所以，当x∈（0，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； …（5分）

③当a＜0时，△=9a2﹣8a=a（9a﹣8）＞0，g（x）=2ax2﹣3ax+1=0的两根

为，，即x2＜0＜x1

当x∈（0，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； …（6分）

综上：当a＜0时，函数f（x）在（0，x1）单调递增，函数f（x）在（x1，+∞）单调递减；

当时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当时，函数f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）单调递增；函数f（x）在（x1，x2）单调递减 …（7分）

（2）由（1）知

①当时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

因为f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意； …（8分）

②当时，，即0＜x1＜x2≤1

所以，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意； …（10分）

③当a＞1时，，即0＜x1＜1＜x2

由f（1）=0，函数f（x）在（x1，x2）单调递减，

所以x∈（1，x2）时，f（x）＜f（1）=0不符合题意，…（11分）

综上所述，a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．…（12分）

解法二：

（1）f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）的定义域为（0，+∞）…（1分），

=，令g（x）=2ax2﹣3ax+1…（2分）

①当a=0时，g（x）=1，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（3分）

②当a＞0时，g（x）=2ax2﹣3ax+1的对称轴为

若时，即，g（x）≥0，f′（x）≥0所以f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（4分）

若时，即，g（x）=2ax2﹣3ax+1=0的两根

为，，即0＜x1＜x2

所以，当x∈（0，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； …（5分）

③当a＜0时，△=9a2﹣8a=a（9a﹣8）＞0，g（x）=2ax2﹣3ax+1=0的两根

为，，即x2＜0＜x1

当x∈（0，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； …（6分）

综上：当a＜0时，函数f（x）在（0，x1）单调递增，函数f（x）在（x1，+∞）单调递减；

当时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当时，函数f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）单调递增；函数f（x）在（x1，x2）单调递减 …（7分）

（2）=，因为a＞0

令g（x）=2ax2﹣3ax+1，g（x）的对称轴，

①当时，即，x∈（0，+∞），g（x）≥0，

所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，x＞1，f（x）＞f（1）=0，即，对∀x＞1，f（x）≥0成立； …（8分）

②当时，即，g（x）=2ax2﹣3ax+1=0的两根为，，且0＜x1＜x2…（9分）

若，即时x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意； …（10分）

若，即a＞1时，，即0＜x1＜1＜x2

由f（1）=0，函数f（x）在（x1，x2）单调递减，

所以x∈（1，x2）时，f（x）＜f（1）=0不符合题意，…（11分）

综上所述，a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．…（12分）

考点：对数函数的图象与性质；函数的最值及其几何意义．