Question

如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，已知椭圆C的焦距为2，且|AB|=|BF|．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点P（0，﹣2）的直线l交椭圆C于M，N两点，当△MON面积取得最大时，求直线l的方程．

Answer

（1）；（2）所求直线方程为．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得c=1，再由两点的距离公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）方法一、设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到直线方程；

方法二、设出直线的方程，求得交点D，运用三角形的面积公式可得S△OMN=|OD|•|y1﹣y2|，由直线方程和韦达定理，代入整理，再由解不等式可得最大值及对应的斜率，即可得到所求直线的方程．

【解析】
（1）椭圆C的焦距为2，所以2c=2，c=1，

由已知，即，

2a2+2b2=3a2，a2=2b2=b2+c2，

所以，

可得椭圆方程为；

（2）解法一：由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），

由，消去y得关于x的方程：（1+2k2）x2﹣8kx+6=0，

由直线l与椭圆相交于M、N两点，∴△＞0⇒64k2﹣24（1+2k2）＞0，

解得，

又由韦达定理得，

∴

=，

原点O到直线l的距离，

∵．

解法1：令，

则2k2=m2+3∴，

当且仅当即m=2时，

此时．

所以，所求直线方程为．

解法2：对两边平方整理得：4S2k4+4（S2﹣4）k2+S2+24=0（*）

∵S≠0，，整理得：，

又S＞0，∴，

从而S△MON的最大值为，

此时代入方程（*）得4k4﹣28k2+49=0∴，

所以，所求直线方程为：．

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零．

设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），

则直线l与x轴的交点，

由解法一知且，

=|x1﹣x2|===．

下同解法一．

考点：椭圆的简单性质．