Question

如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1） （2）存在常数符合题意

【解析】

试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程，题目给出了，离心率，只需建立关于

a，b，c的方程，可算出椭圆的标准方程

（2）本问为存在性问题，通常假设存在．由题目条件出发，设直线的方程与椭圆方程

联立得：A，B 两点坐标及满足的数量关系，表示出M点坐标．然后表示出，，的斜率，，，找出中的值．

试题解析：源（Ⅰ）由点在椭圆上得，，①

又，所以，②

由①②得，故椭圆的方程为．

（Ⅱ）假设存在常数，使得，由题意可设

则直线的方程为，③ 代入椭圆方程，

并整理得，

设，则有，④

在方程③中，得，，

从而．

又因为共线，则有，即有，

所以=，⑤

将④代入⑤得，又，所以，

故存在常数符合题意．

考点：（1）求椭圆的标准方程．（2）方程思想和较强的代数运算能力．