Question

已知抛物线焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点的直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）本题给出了抛物线的标准方程，只需由条件建立关于P的方程，可得到方程．

（2）已知过一点求直线方程可设（注意设得方法，可包含斜率不存在的情况），

关键求出K，结合条件圆过F，与抛物线方程联立，建立关于K的方程，求出直线方程．

试题解析： （1）抛物线上横坐标为的点纵坐标，到原点的距离，

∴，解得，抛物线的方程为：．

（2）由题意可知，直线不垂直于y轴，可设直线，

则由，可得：，

设，则，

因为以AB为直径的圆过点F，所以，即，

可得：，

∴

，

解得：，∴直线，即．

考点：（1）用待定系数法求抛物线方程．（2）求直线方程；解析几何中的方程思想．