Question

如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB＝2AD，AD＝，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．

（1）求证：AD⊥平面BDE；

（2）求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）本题为折叠问题，注意折叠过程中得不变性．证线面垂直可回到判定定理（化为线与两条相交直线垂直来证）．另也可建立空间坐标系，运用向量运算来解决．

（2）由（1）已经建立空间坐标系，则关键是算出两个平面的法向量，利用法向量的数量积，可算出二面角的余弦．（注意观察二面角为钝角还是锐角对应余弦的负和正）．

试题解析： （1）由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，连接OD，BE．∵AD＝DE＝，∴OD⊥AE．又二面角D-AE-B为直二面角，∴OD⊥平面ABCE．又AE＝BE＝2，AB＝2，∴AB2＝AE2＋BE2．∴AE⊥BE．取AB中点F，连接OF，则OF∥EB．∴OF⊥AE．以点O为原点，OA，OF，OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），

则A（1，0，0），D（0，0，1），B（－1，2，0），E（－1，0，0），＝（－1，0，1），＝（1，－2，1），＝（0，2，0），

设n＝（x1，y1，z1）是平面BDE的法向量，

则即取x1＝1，则z1＝－1．

于是n＝（1，0，－1）．∴n＝－．∴n∥．∴AD⊥平面BDE．

（2）设m＝（x2，y2，z2）是平面ABD的一个法向量，

则m·＝0，m·＝0，∴取x2＝1，则y2＝1，z2＝1，则m＝（1，1，1），平面ADE的法向量＝（0，1，0）．∴cos〈m，〉＝＝＝．

∴二面角B-AD-E的余弦值为．

考点：（1）运用空间向量的运算证线面垂直．（2）运用空间向量的运算解决二面角的问题．