Question

抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并且这条准线垂直于x轴，又抛物线与双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．

Answer

y2＝4x和4x2－y2＝1

【解析】

试题分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可

试题解析：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，∴可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．

∵点P在抛物线上，∴（）2＝2p×，p＝2，

∴y2＝4x．

∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，

∴－c＝－1，c＝1，即有a2＋b2＝1， ①

又∵点P在双曲线上，∴ ②

联立①②，解得a2＝，b2＝，双曲线方程为4x2－y2＝1．

故所求的抛物线与双曲线方程分别为y2＝4x和4x2－y2＝1

考点：抛物线和双曲线方程及性质