Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．

（Ⅰ）求证：EB=2ED；

（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于已知,再结合要证明，所以可以考虑证明∽来达到证明的目的，利用圆内接四边形的性质可得为公共角，得证∽；（Ⅱ）利用切割线定理构造的关系，即可求得的长．

试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，

∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；

（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：

x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2

考点：圆内接四边形的性质、圆的切割线定理及三角形的相似问题．