Question

已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．

（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[]上的最大值g（a）．

Answer

（Ⅰ）的单调增区间是，单调减区间是；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，然后求出使得导函数大于或小于的的取值范围，即得其单调区间；（Ⅱ）先研究函数在区间上的单调性，求出在区间上的极值，通过比较极值和区间端点处的函数值即得其最大值．

试题解析：（Ⅰ）=ln（﹣x）+a，

由题意知x=﹣e时，=0，即：=1+a=0，∴a=﹣1，

∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，=ln（﹣x）﹣1

令=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e

令=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e

令=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，

（Ⅱ）=ln（﹣x）+a，∵x∈，

∴﹣x∈，∴ln（﹣x）∈，

①若a≥1，则=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，

fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1

②若a≤﹣2，则=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，

fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2

③若﹣2＜a＜1，则令=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a

∵=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时＞0，当x＞﹣e﹣a时＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）

综上：

考点：利用导数研究函数的单调性及其在给定区间上的极值和最值．

【方法点晴】本题主要考查了导数在研究函数的单调性及在研究单调性的基础上求解其在给定区间上的极值，进而得到最值问题，考查学生综合利用所学知识分析问题和解决问题的能力，属于中档题．解答过程中要用到分类讨论的数学思想，也就是第二问中，通过讨论的范围，得到在上的单调性，为求极值和最值创造条件，这是最终完整求解本题的关键．