Question

如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC, D在底面ABC上的射影E，AB⊥BC，DF⊥AB于F．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可知三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，易得为的中点，可证，又，所以平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）的证明可以以为原点，为建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的方向向量，利用线面角的公式即可求解．

试题解析：（Ⅰ）如图，由题意知平面

所以 ，又，所以 平面

又平面 所以平面平面

（Ⅱ）如图建系，则，，，

所以，

设平面的法向量为

由得，取

设与的夹角为，所以

所以与平面所成的角的正弦值为

考点：空间中垂直关系的证明及空间线面角的求解．