Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁,F₂，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF₂⊥x轴， ．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率和通径长公式，结合椭圆中的关系，解方程组即可求得的值，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理写出两个交点坐标和直线斜率的关系，表示出，从而建立三角形面积的函数关系式，通过基本不等式可求得面积的最大值．

试题解析：(I)由已知得，又由，可得，，

得椭圆方程为，因为点在第一象限且轴，可得的坐标为，

由，解得，所以椭圆方程为

(II)设 将代入椭圆，可得

由 ，可得，则有

所以因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积

令 , 由①知

所以时，面积最大为．

考点：椭圆的方程、几何性质及椭圆与直线的位置关系．

【方法点晴】本题考查了椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题，其中面积是本题解得的难点，解答时应结合图形的特征把的面积分解为两个同底的三角形，两个三角形的底边都是，高的和为，这是本题韦达定理应用的技巧所在，最好通过对面积的函数关系变形，在形式上达到积为定值的目的，通过基本不等式求出面积的最大值．