Question

已知函数．

（1）若在处取极值，求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）证明: （  为自然对数的底数, ）．

Answer

（1）；（2）若时，在上单调递减，若时，在 上单调递增，在和上单调递减，若时，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出，因为在时取得极值，所以，代入求出即可；（2）分三种情况讨论：，令得到函数的递增区间；令得到函数的递减区间即可；（3）由（2）知当时，函数为减函数，所以得到，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的坐标即可做作出证明．

试题解析：（1），又是的一个极值点，

，验证知符合条件．

（2）

①若时，∴在单调递增，在单调递减；

②若得，当时，对恒成立，

∴在上单调递减．

③若时，由得

∴

再令，可得

∴在 上单调递增，

在上单调递减

综上所述，若时，在上单调递减；

若时，在 上单调递增，

在上单调递减；

若时，在单调递增，在单调递减．

（3）由（2）知，当时，在单调递减

当时，由，

考点：利用导数研究函数的单调性与极值；不等式的证明．

【方法点晴】本题主要考查了利用函数的导数研究函数的单调性与函数的极值、最值及不等式的证明、以及会用待定系数法求解函数的解析式、会用单调性对函数的运算、不等式的证明等问题，同时考查了等比数列的求和及分类讨论的数学思想方法、转化的思想方法的应用，本题第的解答中，分三种情况，求解函数的单调区间；第中利用时，在单调递减，结合等比数列的求和，证明不等式成立．