Question

已知椭圆 的一个焦点为，且该椭圆过定点 ．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点，过点 作直线与椭圆 交于 两点，且 ,若以为邻边作平行四边形，求对角线的长度的最小值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的半焦距为，得，由椭圆过点，得，求得的值，确定椭圆的方程；（2）设出直线，代入椭圆的方程，得一元二次方程，利用韦达定理，利用，列出的方程，得，即，可得，利用换元法可求解长度的最小值．

试题解析：（1）

标准方程为

设,，

，

，

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．

【方法点晴】本题综合考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系转化为直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系、换元法、分类讨论、向量的运算及向量相等和向量的模的计算等知识的综合应用与运算技巧，着重考查了分析问题和解决问题的能力，试题推理和运算难度较大，属于难题，本题的解答中将，代入椭圆的方程，得一元二次方程，利用韦达等量得根与系数的关系，利用，列出的方程，计算的范围是解答的一个难点．