Question

已知函数．

（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；

（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（III）当时，方程有实根，求实数的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由条件根据极值点的导数等于零，求得的值；（Ⅱ）由题意得，则在上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，再分类讨论，求得的范围；（Ⅲ）当时，方程有实根，等价于在上有解，即求函数的值域，在利用导数研究函数的单调性，从而求得实数的最大值.

试题解析：（Ⅰ）

因为为的极值点，所以，即，解得

（Ⅱ）因为函数在上为增函数，所以

在上恒成立.

①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意.

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立.

令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以.因为，所以.

综上所述，的取值范围为.

（Ⅲ）当时，方程可化为.

问题转化为在上有解，即求函数的值域.

因为函数，令函数，

则，

所以当时，，从而函数在上为增函数，

当时，，从而函数在上为减函数，因此.

而，所以，因此当时，b取得最大值0.

考点：导数在函数中的综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性、极值与最大值、最小值中的应用，同时着重考查了利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，求解函数的恒成立问题属于难度较大的试题，本题的第二问的解答中，把在上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，再分类讨论，求得的范围；第三问的解答中，把方程有实根，转化为在上有解，求函数的值域，在利用导数研究函数的单调性，从而求得实数的最大值.