Question

如图，在中，已知，在上，且，又平面，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设得，由平面，知⊥平面，得，利用勾股定理的逆定理可得：，再证得，可进一步证明平面； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设，利用线面垂直的性质、向量垂直的数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可.

试题解析：（Ⅰ）题设得，

由平面，知⊥平面.从而

在中为直角三角形，故

又，又平面

平面，平面

故∵∴平面

（Ⅱ）以所在射线分别为轴，建立直角坐标系如图

则由（Ⅰ）知，,

由（Ⅰ）知平面是平面的一个法向量，

设平面的法向量为

，

令，则……10分

由图可知，二面角的余弦值为…12分

考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解.