Question

已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

Answer

【解析】

试题分析：设球的半径为，则球的表面积为，两圆锥的底面积为，所以圆锥的底面半径满足，解得；由几何体的特征值球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者构成一个直角三角形，由此求出球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为，同理得圆锥体积较大者的高，所以则两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的比值为.

考点：球的体积和表面积.

【方法点晴】本题主要考查了旋转体的表面积以及球内接圆锥的表面积的应用问题，也考查了计算能力与空间能力，是基础题目，本题的解答中，根据题意，设出球的半径，求出球的面积及圆锥的底面积，由此求出球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为，同理得圆锥体积较大者的高，由此求出圆锥的底面半径和两圆锥的高的比值.