Question

已知函数，满足，且，为自然对数的底数．

（Ⅰ）已知，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，再求出即可写出切线方程；（Ⅱ）变参分离可得，即，从而将问题转化为求函数，的最小值问题，求函数的导数，由导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而可求出的范围；（Ⅲ）设为在时的图象上的任意一点，则,所以可设的坐标为，由于,即，当，变参分离得，令，由导数研究函数的单调性即可．

试题解析：（Ⅰ），

，

在处的切线方程为：，即

（Ⅱ），

，从而

由得：．

由于时，，且等号不能同时成立，所以，．

从而，为满足题意，必须．

设，，则．

，，

从而，在上为增函数，

所以，从而．

（Ⅲ）设为在时的图象上的任意一点，则

的中点在轴上，的坐标为，

，，所以，，．

由于，所以．

当时，恒成立，；

当时，，

令，则

，，，从而在上为增函数，由于时，，，

综上可知，的取值范围是．

考点：1．导数的几何意义；2．导数与函数的单调性；3．函数与不等式．

【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、函数与不等式等知识，属难题；解决导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：1．首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；2．基本初等函数的导数和导数的运算法则是正确解决问题的保证；3．熟练掌握直线的方程与斜率是正确解决此问题的前提．