Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）和的比值为一个常数，这个常数为；（Ⅲ）取最大值．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由两圆相切的知识列出等量关系式，两式相加可得，由此可曲线是椭圆，由椭圆的定义可求其轨迹方程；（Ⅱ）设出直线与的方程，由求出点的坐标，所以由可得：,利用韦达定理写出点坐标与的关系，计算即可；（Ⅲ），的面积的面积，,求出点到直线的距离,再求出弦长，即可求出，令，换元，利用基本不等式即可求三角形面积的最大值．

试题解析：（Ⅰ）设圆心的坐标为，半径为

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹：

（Ⅱ）设，直线，则直线

由可得：，

由可得：

和的比值为一个常数，这个常数为

（Ⅲ），的面积的面积，

到直线的距离

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）

当时，取最大值

考点：1．圆与圆的位置关系；2．直线与椭圆的位置关系；3．椭圆的定义及几何性质．

【名师点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；圆锥曲线的最值问题是高考的热点与难点之一，圆锥曲线中最常见的最值问题及解题方法有：1．两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素存在最值时确定与之有关的一些问题．2．两种常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．