Question

如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可知，要证⊥平面 ,只要证⊥即可，在梯形中，可利用勾股定理的逆定理可证⊥；（2）由（1）可建立分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，由向量公式计算得，再由即可计算的取值范围．

试题解析：（1）证明：在梯形中，

∵ ,，

∠＝，∴

∴

∴ ∴ ⊥

∵ 平面⊥平面,平面∩平面,

平面 ∴ ⊥平面

（2）由（1）可建立分别以直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，

∴

设为平面的一个法向量，

由 ，

联立得 ，

取，则，

∵是平面的一个法向量

∴

∵ ∴ 当时，有最小值，当时，有最大值．

∴

考点：1．线面、面面垂直的判定与性质；2．空间向量的应用．