Question

已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设点R（x₀，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）y2=4x；（Ⅱ）x+y﹣2=0．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）可以得到抛物线的焦点为，而根据点到直线的距离公式得到，而由p＞0即可得出p=2，从而得出抛物线方程为y2=4x；

（Ⅱ）容易求出R点坐标为（1，2），可设AB：x=m（y﹣1）+1，，直线AB方程联立抛物线方程消去x可得到y2﹣4my+4m﹣4=0，从而有y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4．可写出直线AR的方程，联立y=2x+2即可得出，而同理可得到，这样即可求出，从而看出m=﹣1时，|MN|取到最小值，并且可得出此时直线AB的方程．

【解析】
（Ⅰ）抛物线的焦点为，，得p=2，或﹣6（舍去）；

∴抛物线C的方程为y2=4x；

（Ⅱ）点R（x0，2）在抛物线C上；

∴x0=1，得R（1，2）；

设直线AB为x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；

由得，y2﹣4my+4m﹣4=0；

∴y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4；

AR：=；

由，得，同理；

∴

=；

∴当m=﹣1时，，此时直线AB方程：x+y﹣2=0．

考点：抛物线的简单性质．