Question

正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别是棱AB，A₁D₁上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD₁所成角的余弦值得取值范围是                  ．

Answer

[，1]．

【解析】

试题分析：由题意画出图形，根据P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，且PQ⊥AC，得到当P与B重合，Q与D1重合时PQ与BD1所成角最小为0°，当P与A重合，Q与A1重合时PQ与BD1所成角最大，为图中的∠B1BD1，设出正方体棱长通过解直角三角形求得角的余弦值，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围可求．

【解析】
如图，

∵P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，且PQ⊥AC，

∴当P与B重合，Q与D1重合时，满足PQ⊥AC，

此时PQ与BD1重合，所成角最小，所成角的余弦值最大为1，

当P与A重合，Q与A1重合时，此时AA1在平面BB1D1D上的射影与BD1所成角最大，

即PQ与BD1所成角最大，也就是图中的∠B1BD1．

设正方体的棱长为a，则，，

∴．

∴PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是[，1]．

故答案为：[，1]．

考点：异面直线及其所成的角．