Question

已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；

（Ⅱ）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值．

Answer

（Ⅰ）x=1，（Ⅱ）f（x）max=．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=，依题意，可得 ，解之即可；

（Ⅱ）当a∈（0，3），作出函数y=f（x）的图象，分0＜a≤1、1＜a＜2与2≤a＜3三类讨论，数形结合，即可求得函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；

【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=，

由f（x）=x可得：．

解得x=1，

（Ⅱ）f（x）=，作出示意图，

注意到几个关键点的值：

f（0）=f（a）=1，f（）=1﹣，

当0＜a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f（1）=a；

1＜a＜2时，f（x）在[1，a]上单调递增，在[a，2]上单调递减，

函数的最大值为f（a）=1；

当2≤a＜3时，f（x）在[1，]上单调递减，在[，2]上单调第增，

且直线x=是函数的对称轴，由于（2﹣）﹣（﹣1）=3﹣a＞0，

故函数的最大值为f（2）=5﹣2a．

综上可得，f（x）max=．

考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．